Convertidor SEPIC ideal

Análisis del convertidor SEPIC ideal mediante el promedio del espacio de estados. El convertidor SEPIC proporciona una salida independientemente de su tensión de entrada, haciéndolo muy útil en circuitos de baja potencia alimentados por tensiones variables.

Introducción

SEPIC es el acrónimo de Single Ended Primary Inductor. Este particular nombre podría ser una forma breve de describir su funcionamiento. La traducción sería: Inductor Primario de Terminación Simple, refiriéndose a que se tiene un inductor principal por el que el flujo magnético tiene un único sentido.

Como se verá en el análisis del convertidor, por la bobina L1 fluye una corriente en una única dirección, repitiendo ciclos de carga y descarga constantemente. De haber una inversión del flujo magnético el término habría sido «double-ended», siempre siguiendo el criterio usado para convertidores DC/DC con transformador.

Algunas propiedades de este convertidor, que serán demostradas a lo largo de este artículo son:

Corriente de entrada casi constante: la corriente de entrada varía en torno a un valor medio. Esto es casi ideal para reducir interferencias electromagnéticas hacia la entrada, haciendo trabajar a la fuente de forma suave sin transitorios.
Corriente de salida pulsante: No existe un flujo constante a la salida del convertidor, obligando al condensador de salida a suministrar toda la energía mientras el circuito se «carga».
Protección inherente a cortocircuitos: debido al condensador que acopla entrada y salida, no es posible que la corriente continua pase directamente de la entrada a la salida. Un circuito de control adecuado no permitirá un bloqueo del interruptor, quedando así protegido de uno de los peores escenarios.

El convertidor SEPIC es sumamente útil en circuitos digitales que necesiten 3,3V y se alimenten desde baterías de litio. Con tensiones variables de ~2,6V a ~4,2V, incluso 5V o más dependiendo de la arquitectura de la alimentación.

En el proyecto del termostato a dos hilos «Home-Ambient» se usó este convertidor como fuente de alimentación de la electrónica de control. Aquí, demostró ser capaz de operar tanto desde una batería como una fuente de alimentación convencional al mismo tiempo.

Modelado del convertidor SEPIC ideal (CCM)

Analizar cualquier circuito eléctrico exige establecer referencias de tensión e intensidad. Durante todo el desarrollo se usarán las de la siguiente imagen.

Esquema convertidor SEPIC ideal y referencias de tensión e intensidad — Convertidor SEPIC ideal. Referencias de tensión e intensidad

Análisis en el espacio de estados

Durante el siguiente desarrollo se supondrá que el convertidor trabaja en el modo de conducción continua (CCM), esto es: las corrientes a través de las bobinas nunca llegan a ser cero.

Sea el espacio de estados

\begin{align} \dot{x}(t)=&A·x(t) + B·u(t)\\ y(t)=&C·x(t)+D·u(t) \end{align}

Con

x(t)= \begin{bmatrix} i_{L1}\\ i_{L2}\\ v_{C1}\\ v_{Co}\\ \end{bmatrix}\text{ ; } u(t)=\begin{bmatrix} V_i \end{bmatrix}\text{ ; } y(t)=\begin{bmatrix} V_o \end{bmatrix}

Interruptor cerrado (SW->On)

El circuito equivalente del convertidor SEPIC con el interruptor cerrado es:

Circuito equivalente SEPIC. Interruptor cerrado

\text{Eq. Tensiones} \Rightarrow \begin{cases} -v_{i}+v_{L1}=0\\ -v_{C1}+v_{L2}=0\\ -v_{Co}+v_{o}=0\\ \end{cases} \text{; Eq. Intensidades} \Rightarrow \begin{cases} -i_{C1}-i_{L2}=0\\ -i_{Co}-i_o=0 \end{cases}

\begin{cases} v_{i} = L_1\frac{d(i_{L1})}{dt} \\ v_{C1}=L_2\frac{d(i_{L2})}{dt}\\ -C_1\frac{d(v_{C1})}{dt}-i_{L2}=0\\ -C_o\frac{d(v_{Co})}{dt}-\frac{v_o}{R}=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} L_1\frac{d(i_{L1})}{dt} =& v_{i}\\ L_2\frac{d(i_{L2})}{dt} =& v_{C1}\\ C_1\frac{d(v_{C1})}{dt} =& -i_{L2}\\ C_o\frac{d(v_{Co})}{dt} =& -\frac{v_o}{R} \end{cases}

Las matrices A, B, C y D cuando el interruptor está encendido serán:

A_{on}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1/L_2 & 0\\ 0 & -1/C_1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1/C_oR\\ \end{bmatrix}; B_{on} =\begin{bmatrix} 1/L_1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}; C_{on}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}; D_{on}=\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \newline

Interruptor abierto (SW->Off)

El circuito equivalente del convertidor SEPIC con el interruptor abierto es:

Circuito equivalente SEPIC. Interruptor abierto

\text{Eq. Tensiones} \Rightarrow \begin{cases} v_{i} = v_{L1} -v_{C1} + v_{L2} \\ v_{L2} = v_{Co} = v_{o}\\ \end{cases} ; \text{Eq. Intensidades} \Rightarrow \begin{cases} i_{L1}+i_{C1}=0\\ -i_{C1}-i_{L2}-i_{Co}-i_o=0 \end{cases}

De las ecuaciones anteriores

\begin{cases} v_{i} = L_1\frac{d(i_{L1})}{dt} -v_{C1} + v_{o} \\ L_2\frac{d(i_{L2})}{dt}=v_{o}\\ i_{L1} = -C_1\frac{d(v_{C1})}{dt}\\ i_{L1}-i_{L2}-C_1\frac{d(v_{Co})}{dt}-\frac{v_o}{R}=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} L_1\frac{d(i_{L1})}{dt} &=& v_{C1}-v_{o}+V_{in}\\ L_2\frac{d(i_{L2})}{dt} &=& v_{o}\\ C_1\frac{d(v_{C1})}{dt} &=& -i_{L1}\\ C_o\frac{d(v_{Co})}{dt} &=& i_{L1}-i_{L2}-\frac{v_o}{R} \end{cases}

A_{off}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1/L_1 & -1/L_1\\ 0 & 0 & 0 & 1/L_2\\ -1/C_1 & 0 & 0 & 0\\ 1/C_o & -1/C_o & 0 & -1/C_oR\\ \end{bmatrix}; B_{off} =\begin{bmatrix} 1/L_1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix};\newline C_{off}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}; D_{off}=\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}

Promedio de espacio de estados

Durante un ciclo completo de encendido y apagado, siendo $\frac{t_{on}}{T}=D$ y $\frac{t_{off}}{T}=1-D$ . Se tiene que el promedio en el espacio de estados es:

A = D·A_{on} + (1-D)A_{off}

A=D· \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1/L_2 & 0\\ 0 & -1/C_1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1/C_oR\\ \end{bmatrix} +(1-D) \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1/L_1 & -1/L_1\\ 0 & 0 & 0 & 1/L_2\\ -1/C_1 & 0 & 0 & 0\\ 1/C_o & -1/C_o & 0 & -1/C_oR\\ \end{bmatrix}

A= \begin{bmatrix} 0 & 0 & (1-D)/L_1 & -(1-D)/L_1\\ 0 & 0 & D/L_2 & (1-D)/L_2\\ -(1-D)/C_1 & -D/C_1 & 0 & 0\\ (1-D)/C_o & -(1-D)/C_o & 0 & -1/C_oR\\ \end{bmatrix}

Al ser $B_{on}=B_{off}, C_{on}=C_{off},$ y $D_{on}=D_{off}$ , promediar da lugar a las mismas matrices, siendo el sistema final:

\dot{x}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dfrac{1-D}{L_1} & -\dfrac{1-D}{L_1} \\ 0 & 0 & \dfrac{D}{L_2} & \dfrac{1-D}{L_2} \\ -\dfrac{1-D}{C_1} & -\dfrac{D}{C_1} & 0 & 0 \\ \dfrac{1-D}{C_o} & -\dfrac{1-D}{C_o} & 0 & -\dfrac{1}{R\,C_o} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{L1}\\ i_{L2}\\ v_{C1}\\ v_{Co}\\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 1/L_1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_{i} \end{bmatrix}\\

y=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_{L1}\\ i_{L2}\\ v_{C1}\\ v_{Co}\\ \end{bmatrix}

Convertidor SEPIC en régimen permanente

En régimen permanente no existen cambios en las magnitudes del circuito, por tanto sus derivadas pasan a ser cero $\dot{x}(t)=0$ .

0=A·X + B·U

De la primera y segunda fila de las ecuaciones del espacio de estados

\begin{cases} 0=&(1-D)V_{C1}-(1-D)V_o+V_i\\ 0=&DV_{C1}+(1-D)V_o \end{cases} \Rightarrow

\Rightarrow \begin{cases} (1-D)V_{C1}-(1-D)V_o=-V_i\\ V_{C1}=\frac{-(1-D)V_o}{D} \end{cases} \Rightarrow

\Rightarrow (1-D)\frac{-(1-D)V_o}{D}-(1-D)V_o=-V_i

\Rightarrow -(1-D)V_o+(1-D)V_oD-(1-D)V_oD=-V_iD \Rightarrow

\frac{V_o}{V_i}=\frac{D}{(1-D)}

Deduciendo la ecuación clásica del convertidor SEPIC.

Magnitudes y formas de onda y en el convertidor SEPIC ideal (CCM)

L1, L2 y C1

Se podría decir que tanto las bobinas L1 y L2 como el condensador C1 son los elementos sobre los que gira este convertidor. Es en estos componentes donde se producen los trasvases de energía que modifican la tensión de entrada.

De las ecuaciones anteriormente planteadas se puede deducir el comportamiento de corrientes y tensiones. Considerando que el convertidor funciona en modo de conducción continua (CCM):

Formas de onda convertidor SEPIC ideal en L1, L2 y C1

Para obtener los valores medios de las principales magnitudes en estos componentes se parte del balance de potencia. Suponiendo un convertidor ideal la potencia de entrada Pi será igual a la potencia de salida Po. Sea i_i la corriente de la fuente de entrada:

\begin{align} P_i &=& P_o\\ V_i·I_i &=& V_o·I_o\\ I_i &=& \frac{V_o·I_o}{V_i} \end{align}

Bobina L1

Dado que la corriente de la fuente será igual a la corriente que pasa por la bobina L1, se tiene que la corriente media i_L1(m) a través de esta bobina será i_i.

I_{L1(m)} = \frac{V_o·I_o}{V_i}

La variación Δi_L1 depende del tiempo que el circuito tenga el interruptor encendido t_on=T_sw·D.

v_{i} = L_1\frac{d(i_{L1})}{dt}=L_1\frac{\Delta(i_{L1})}{\Delta t}

Siendo Δt=t_on=D/f_sw:

\Delta(i_{L1})=\frac{V_i·D}{L_1·f_{sw}}

Bobina L2

La intensidad en la bobina L2 se obtiene mediante el balance de corrientes alrededor del diodo.

\begin{cases} -i_{C1}-i_{L2}-i_{D1}=0\\ i_{D1}-i_{Co}-i_{o}=0\\ \end{cases}

Por los condensadores C1 y Co la corriente media es cero, de lo contrario, estos acumularían carga infinita. En la gráfica anterior esto se representa mediante las áreas bajo la curva de corriente en C1: Q_C1ON = Q_C1OFF. Del sistema anterior la corriente media por la bobina L2 será:

I_{L2(m)}=-I_{o}

Cuando el interruptor está abierto la tensión en L2 será la misma que la de salida V_o. Por tanto:

\begin{align*} v_{L2}=v_{o}=L_2\frac{d(i_{L2})}{dt}=L_2\frac{\Delta(i_{L2})}{\Delta t} \Rightarrow\\ \Rightarrow\Delta(i_{L2})=\frac{v_o}{L_2}\Delta t \end{align*}

Aquí Δt es el tiempo con el interruptor abierto t_off=T_sw·(1-D).

\Delta(i_{L2})=\frac{V_o(D-1)}{L_2·f_{sw}}

Condensador C1

Al igual que por los condensadores C1 y Co la corriente media es cero, por las bobinas L1 y L2 la tensión media es cero. De otra forma, estas acumularían flujo magnético infinito.

Sabiendo que la tensión en el condensador es $v_{i} = v_{L1} -v_{C1} + v_{L2} \Rightarrow$

\Rightarrow v_{C1}=v_{L1}-v_{i}+ v_{L2}

Puede concluirse que la tensión media en el condensador C1 será igual a la tensión de entrada V_i, ya que V_L1 = 0V y V_L2 = 0V.

V_{C1}=V_{i}

Interruptor SW y diodo D1

Si L1, L2 y C1 son elementos sobre los que gira el convertidor SEPIC, los interruptores son los que lo mueven.

De forma habitual se representa indistintamente al interruptor como un transistor o viceversa, también es posible encontrar literatura con tiristores o GTOs. No es tan habitual encontrar un interruptor representando a un diodo, si bien sería más correcto en análisis como este donde se estudia el comportamiento ideal.

Sea cual sea la representación, conocer las magnitudes de tensión y corriente, así como velocidad de conmutación, es fundamental para una futura implementación física.

Formas de onda convertidor SEPIC ideal en SW1, D1 y Vo

Interruptor SW1

El interruptor debe soportar la corriente durante el encendido y la tensión durante el apagado. La corriente máxima i_sw durante el encendido será la suma de la corriente por L1 y C1. Como esta corriente será pulsante interesará la corriente máxima que puede alcanzar el interruptor, que será $I_{sw(max)}=I_{L1(max)}+I_{C1(max)}$ .

Ambas pueden obtenerse de:

\begin{cases} I_{L1(max)}&=& I_{L1(m)}+\frac{\Delta(i_{L1})}{2}\\ I_{C1(max)}&=& I_{o}+\frac{\Delta i_{L2}}{2} \end{cases}

Sustituyendo con los valores previamente calculados:

\begin{cases} I_{L1(max)}&=& \frac{V_o·I_o}{V_i} +\frac{V_i·D}{L_1·f_{sw}}\\ I_{C1(max)}&=& I_o+\frac{V_o(D-1)}{L_2·f_{sw}} \end{cases}

I_{sw(max)}=\frac{V_o·I_o}{V_i} +\frac{V_i·D}{L_1·f_{sw}} + I_o+\frac{V_o(D-1)}{L_2·f_{sw}}

Diodo D1

A través de este componente se transfiere toda la energía a la salida, la corriente a través de él será la suma de I_L1 e I_L2. El máximo será, por tanto $I_{D1(max)}=I_{L1(max)}+I_{L2(max)} \Rightarrow$

I_{D1(max)}=\frac{V_o·I_o}{V_i} +\frac{V_i·D}{L_1·f_{sw}}+I_o+\frac{V_o(D-1)}{L_2·f_{sw}}

Condensador de salida

Como se ve en la anterior gráfica de interruptor, diodo y condensador de salida, uno de los inconvenientes del convertidor SEPIC es que su corriente de salida es pulsada. Esta característica hace que la tensión varíe de forma brusca entre conmutaciones, no existiendo más fuente de energía para la salida que la almacenada en el condensador Co.

Teniendo en cuenta que toda la corriente I_o es suministrada desde Co durante t_on, se puede conocer el rizado con la ecuación fundamental del condensador.

i_{C_O}=C_o\frac{dv_o}{dt} \Rightarrow \Delta v_o=\frac{i_{C_o}}{C}\Delta t

Sea $i_{C_o}=i_o$ durante el intervalo $\Delta t = t_{on}=D/f_{sw}$

\Delta v_o=\frac{i_o}{C_o}\frac{D}{f_{sw}}

Referencias

Espacio de estados

Literatura para comprender la teoría de control mediante espacio de estados, promedio y diversos cálculos asociados.

Ingeniería de control Moderna. Katsuhiko Ogata.
Fundamentals of Power Electronics. Robert W. Erickson y Dragan Maksimovic.